0

Шпаргалка

Формулы сокращенного умножения и разложения на множители :

(a±b)²=a²±2ab+b²

(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³

a²-b²=(a+b)(a-b)

a³±b³=(a±b)(a²‡ab+b²),

где знак ‡ озн. Противополож. знак

xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a²xn-3+…+an-1)

ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

где x1 и  — корни уравнения

ax²+bx+c=0

Степени и корни :

ap·ag = ap+g

ap:ag=a p-g

(ap)g=a pg

ap /bp = (a/b)p

ap×bp = abp

a0=1; a1=a

a-p = 1/a

Квадратное уравнение

ax²+bx+c=0; (a¹0)

Теорема Виета:

x1+x2 = -b/a

x1× x2 = c/a

 Приведенное кв. Уравнение:

x² + px+q =0

x1+x2 = -p

x1×x2 = q

Если p=2k (p-четн.)

и x²+2kx+q=0, то x1,2  = -k±Ö(k²-q)

Логарифмы:

loga x = b => ab = x; a>0,a¹0

a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0

loga  x = b;  x=ab

loga b = 1/(log b a)

logaxy = logax + loga y

loga x/y = loga x — loga y

loga xk =k loga x (x >0)

logak x =1/k loga x

loga x = (logc x)/( logca); c>0,c¹1

Прогрессии

Арифметическая

an  = an-1 +d

2an= an-1 + an+1

an = a1 + d(n-1)

Sn = n(a1 + an )/2

Sn = (a1+d(n-1))n/2

Sn= a1 + a2 +…+an

Геометрическая

bn  = bn-1 ×  q

b2n = bn-1× bn+1

bn = b1×qn-1

Sn= (bnq- b1)/(q-1)

Sn = b1 (qn-1)/(q-1)

S= b1/(1-q)

Тригонометрия

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (p-a) = sin a

sin (p/2 -a) =  cos a

cos (p/2 -a) = sin a

cos (a + 2pk) = cos a

sin  (a + 2pk) = sin a

tg  (a + pk) = tg a

ctg (a + pk) = ctg a

sin² a + cos² a =1

tg a = cosa / sina , a ¹ pn, nÎZ

tga × ctga = 1, a ¹ (pn)/2, nÎZ

1+tg²a = 1/cos²a , a¹p(2n+1)/2

1+ ctg²a =1/sin²a , a¹ pn

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y — cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y — sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y ¹ p/2 + pn

tg(x-y) = (tg x — tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x — y ¹ p/2 + pn

Формулы двойного аргумента.

sin 2a = 2sin a cos a

cos 2a = cos² a — sin² a = 2 cos² a — 1 =

= 1-2 sin²a

tg 2a = (2 tga)/ (1-tg²a)

1+ cos a = 2 cos² a/2

1-cosa = 2 sin² a/2

tga = (2 tg (a/2))/(1-tg²(a/2))

 Ф-лы половинного аргумента.

sin² a/2 = (1 — cos a)/2

cos²a/2 = (1 + cosa)/2

tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a

a¹ p + 2pn, n ÎZ

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x — sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x — cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

sin (x+y)

cos x cos y

sin (x — y)

cos x cos y

Формулы преобр. произв. в сумму  

sin x sin y = ?(cos (x-y) — cos (x+y))

cos x cos y = ?(cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = ?(sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотнош. между ф-ями

2 tg x/2

1+ tg² x/2

1-tg 2/x

1+ tg² x/2

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m| = 1

x = (-1)narcsin m + pk, kÎ Z

sin x =1               sin x = 0

x = p/2 + 2pk       x = pk

sin x = -1

x = -p/2 + 2 pk

cos x = m; |m| = 1

x = ± arccos m + 2pk

cos x = 1    cos x = 0

x = 2pk       x = p/2+pk

cos x = -1

x = p+ 2pk

tg x = m

x = arctg m + pk

ctg x = m

x = arcctg m +pk

sin x/2 = 2t/(1+t2); t — tg

cos x/2 = (1-t²)/(1+t²)

 Геометрия

Треугольники

a + b + g =180

Теорема синусов

a² = b²+c² — 2bc cos a

b² = a²+c² — 2ac cos b

c² = a² + b² — 2ab cos g

Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит

противопол. сторону напополам.

Биссектриса — угол.

Высота падает на пр. сторону

под прямым углом.

Формула Герона :

p=?(a+b+c)

S = Öp(p-a)(p-b)(p-c)

S = ?ab sin a

Sравн.=(a²Ö3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция.

S = (a+b)/2× h

Круг

S=  pR²

Sсектора=(pR²a)/360

Стереометрия

Параллепипед

V=Sосн×Р

Прямоугольный

V=abc

Пирамида

V =1/3Sосн.×H

Sполн.= Sбок.+ Sосн.

Усеченная :

 H .               _____

V =  3    (S1+S2+ÖS1S2)

S1 и S2 — площади осн.

Sполн.=Sбок.+S1+S2

Конус

V=1/3 pR²H

Sбок. =pRl

Sбок.= pR(R+1)

Усеченный

Sбок.= pl(R1+R2)

V=1/3pH(R12+R1R2+R22)

Призма

V=Sосн.×H

прямая: Sбок.=Pосн.×H

Sполн.=Sбок+2Sосн.

наклонная :

Sбок.=Pпс×a

V = Sпс×a, а -бок. ребро.

Pпс — периметр

Sпс — пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V=pR²H ; Sбок.= 2pRH

Sполн.=2pR(H+R)

Sбок.= 2pRH

Сфера и шар .

V = 4/3 pR³ — шар

S = 4pR³ — сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 pR³H

H — высота сегм.

Шаровой сегмент

V=pH²(R-H/3)

S=2pRH

Таблица значений функций

град            0°  30°  45°  60°  90° 120° 135°   180°
   a -p/2 -p/3 -p/4 -p/6    0 p/6 p/4 p/3 p/2 2p/3 3p/4 3p/6   p
sina   -1 -Ö3/2 -Ö2/2 — ?    0   ? Ö2/2 Ö3/2    1       — ?   0
cosa            1 Ö3/2 Ö2/2   ?    0  — ? -Ö2/2 — Ö3/2  -1
tga   Ï  -Ö3   -1 -1/Ö3    0 1/Ö3    1  Ö3    Î  -Ö3   -1     0
ctga           —   Ö3    1 1/Ö3    0 -1/Ö3   -1     —

Таблица степеней

n 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 9 16 25 36 49 64 81
3 8 27 64 125 216 343 512 729
4 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561
5 32 243 1024 3125 7776 16807 32768 59049
6 64 729 4096 15625 46656  
7 128 2181  
8 256 6561  

.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *