Формулы сокращенного умножения и разложения на множители :
(a±b)²=a²±2ab+b²
(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³
a²-b²=(a+b)(a-b)
a³±b³=(a±b)(a²‡ab+b²),
где знак ‡ озн. Противополож. знак
xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a²xn-3+…+an-1)
ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
где x1 и — корни уравнения
ax²+bx+c=0
Степени и корни :
ap·ag = ap+g
ap:ag=a p-g
(ap)g=a pg
ap /bp = (a/b)p
ap×bp = abp
a0=1; a1=a
a-p = 1/a
Квадратное уравнение
ax²+bx+c=0; (a¹0)
Теорема Виета:
x1+x2 = -b/a
x1× x2 = c/a
Приведенное кв. Уравнение:
x² + px+q =0
x1+x2 = -p
x1×x2 = q
Если p=2k (p-четн.)
и x²+2kx+q=0, то x1,2 = -k±Ö(k²-q)
Логарифмы:
loga x = b => ab = x; a>0,a¹0
a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0
loga x = b; x=ab
loga b = 1/(log b a)
logaxy = logax + loga y
loga x/y = loga x — loga y
loga xk =k loga x (x >0)
logak x =1/k loga x
loga x = (logc x)/( logca); c>0,c¹1
Прогрессии
Арифметическая
an = an-1 +d
2an= an-1 + an+1
an = a1 + d(n-1)
Sn = n(a1 + an )/2
Sn = (a1+d(n-1))n/2
Sn= a1 + a2 +…+an
Геометрическая
bn = bn-1 × q
b2n = bn-1× bn+1
bn = b1×qn-1
Sn= (bnq- b1)/(q-1)
Sn = b1 (qn-1)/(q-1)
S= b1/(1-q)
Тригонометрия
sin x = a/c
cos x = b/c
tg x = a/b=sinx/cos x
ctg x = b/a = cos x/sin x
sin (p-a) = sin a
sin (p/2 -a) = cos a
cos (p/2 -a) = sin a
cos (a + 2pk) = cos a
sin (a + 2pk) = sin a
tg (a + pk) = tg a
ctg (a + pk) = ctg a
sin² a + cos² a =1
tg a = cosa / sina , a ¹ pn, nÎZ
tga × ctga = 1, a ¹ (pn)/2, nÎZ
1+tg²a = 1/cos²a , a¹p(2n+1)/2
1+ ctg²a =1/sin²a , a¹ pn
Формулы сложения:
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x-y) = sin x cos y — cos x sin y
cos (x+y) = cos x cos y — sin x sin y
cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y
tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )
x, y, x + y ¹ p/2 + pn
tg(x-y) = (tg x — tg y)/ (1+tg x tg y)
x, y, x — y ¹ p/2 + pn
Формулы двойного аргумента.
sin 2a = 2sin a cos a
cos 2a = cos² a — sin² a = 2 cos² a — 1 =
= 1-2 sin²a
tg 2a = (2 tga)/ (1-tg²a)
1+ cos a = 2 cos² a/2
1-cosa = 2 sin² a/2
tga = (2 tg (a/2))/(1-tg²(a/2))
Ф-лы половинного аргумента.
sin² a/2 = (1 — cos a)/2
cos²a/2 = (1 + cosa)/2
tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a
a¹ p + 2pn, n ÎZ
Ф-лы преобразования суммы в произв.
sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)
sin x — sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)
cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2
cos x — cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2
sin (x+y)
cos x cos y
sin (x — y)
cos x cos y
Формулы преобр. произв. в сумму
sin x sin y = ?(cos (x-y) — cos (x+y))
cos x cos y = ?(cos (x-y)+ cos (x+y))
sin x cos y = ?(sin (x-y)+ sin (x+y))
Соотнош. между ф-ями
2 tg x/2
1+ tg² x/2
1-tg 2/x
1+ tg² x/2
Тригонометрические уравнения
sin x = m ; |m| = 1
x = (-1)narcsin m + pk, kÎ Z
sin x =1 sin x = 0
x = p/2 + 2pk x = pk
sin x = -1
x = -p/2 + 2 pk
cos x = m; |m| = 1
x = ± arccos m + 2pk
cos x = 1 cos x = 0
x = 2pk x = p/2+pk
cos x = -1
x = p+ 2pk
tg x = m
x = arctg m + pk
ctg x = m
x = arcctg m +pk
sin x/2 = 2t/(1+t2); t — tg
cos x/2 = (1-t²)/(1+t²)
Геометрия
Треугольники
a + b + g =180
Теорема синусов
a² = b²+c² — 2bc cos a
b² = a²+c² — 2ac cos b
c² = a² + b² — 2ab cos g
Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит
противопол. сторону напополам.
Биссектриса — угол.
Высота падает на пр. сторону
под прямым углом.
Формула Герона :
p=?(a+b+c)
S = Öp(p-a)(p-b)(p-c)
S = ?ab sin a
Sравн.=(a²Ö3)/4
S = bh/2
S=abc/4R
S=pr
Трапеция.
S = (a+b)/2× h
Круг
S= pR²
Sсектора=(pR²a)/360
Стереометрия
Параллепипед
V=Sосн×Р
Прямоугольный
V=abc
Пирамида
V =1/3Sосн.×H
Sполн.= Sбок.+ Sосн.
Усеченная :
H . _____
V = 3 (S1+S2+ÖS1S2)
S1 и S2 — площади осн.
Sполн.=Sбок.+S1+S2
Конус
V=1/3 pR²H
Sбок. =pRl
Sбок.= pR(R+1)
Усеченный
Sбок.= pl(R1+R2)
V=1/3pH(R12+R1R2+R22)
Призма
V=Sосн.×H
прямая: Sбок.=Pосн.×H
Sполн.=Sбок+2Sосн.
наклонная :
Sбок.=Pпс×a
V = Sпс×a, а -бок. ребро.
Pпс — периметр
Sпс — пл. перпенд. сечения
Цилиндр.
V=pR²H ; Sбок.= 2pRH
Sполн.=2pR(H+R)
Sбок.= 2pRH
Сфера и шар .
V = 4/3 pR³ — шар
S = 4pR³ — сфера
Шаровой сектор
V = 2/3 pR³H
H — высота сегм.
Шаровой сегмент
V=pH²(R-H/3)
S=2pRH
Таблица значений функций
град | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 180° | |||||
a | -p/2 | -p/3 | -p/4 | -p/6 | 0 | p/6 | p/4 | p/3 | p/2 | 2p/3 | 3p/4 | 3p/6 | p |
sina | -1 | -Ö3/2 | -Ö2/2 | — ? | 0 | ? | Ö2/2 | Ö3/2 | 1 | — ? | 0 | ||
cosa | 1 | Ö3/2 | Ö2/2 | ? | 0 | — ? | -Ö2/2 | — Ö3/2 | -1 | ||||
tga | Ï | -Ö3 | -1 | -1/Ö3 | 0 | 1/Ö3 | 1 | Ö3 | Î | -Ö3 | -1 | 0 | |
ctga | — | Ö3 | 1 | 1/Ö3 | 0 | -1/Ö3 | -1 | — |
Таблица степеней
n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
2 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
3 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 |
4 | 16 | 81 | 256 | 625 | 1296 | 2401 | 4096 | 6561 |
5 | 32 | 243 | 1024 | 3125 | 7776 | 16807 | 32768 | 59049 |
6 | 64 | 729 | 4096 | 15625 | 46656 | |||
7 | 128 | 2181 | ||||||
8 | 256 | 6561 |
.