Шпаргалка

Формулы сокращенного умножения и разложения на множители :

(a±b)²=a²±2ab+b²

(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³

a²-b²=(a+b)(a-b)

a³±b³=(a±b)(a²‡ab+b²),

где знак ‡ озн. Противополож. знак

xⁿ-aⁿ=(x-a)(x^n-1+ax^n-2+a²x^n-3+…+a^n-1)

ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)

где x₁ и  — корни уравнения

ax²+bx+c=0

Степени и корни :

a^p·a^g = a^p+g

a^p:a^g=a ^p-g

(a^p)^g=a ^pg

a^p /b^p = (a/b)^p

a^p×b^p = ab^p

a⁰=1; a¹=a

a^-p = 1/a

Квадратное уравнение

ax²+bx+c=0; (a¹0)

Теорема Виета:

x₁+x₂ = -b/a

x₁× x₂ = c/a

 Приведенное кв. Уравнение:

x² + px+q =0

x₁+x₂ = -p

x₁×x₂ = q

Если p=2k (p-четн.)

и x²+2kx+q=0, то x_1,2  = -k±Ö(k²-q)

Логарифмы:

log_a x = b => a^b = x; a>0,a¹0

a ^{loga x} = x, log_aa =1; log_a 1 = 0

log_a  x = b;  x=a^b

log_a b = 1/(log _b a)

log_axy = log_ax + log_a y

log_a x/y = log_a x — log_a y

log_a x^k =k log_a x (x >0)

log_a^k x =1/k log_a x

log_a x = (log_c x)/( log_ca); c>0,c¹1

Прогрессии

Арифметическая

a_n  = a_n-1 +d

2a_n= a_n-1 + a_n+1

a_n = a₁ + d(n-1)

S_n = n(a₁ + a_n )/2

S_n = (a₁+d(n-1))n/2

S_n= a₁ + a₂ +…+a_n

Геометрическая

b_n  = b_n-1 ×  q

b²_n = b_n-1× b_n+1

b_n = b₁×q^n-1

S_n= (b_nq- b₁)/(q-1)

S_n = b₁ (qⁿ-1)/(q-1)

S= b₁/(1-q)

Тригонометрия

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (p-a) = sin a

sin (p/2 -a) =  cos a

cos (p/2 -a) = sin a

cos (a + 2pk) = cos a

sin  (a + 2pk) = sin a

tg  (a + pk) = tg a

ctg (a + pk) = ctg a

sin² a + cos² a =1

tg a = cosa / sina , a ¹ pn, nÎZ

tga × ctga = 1, a ¹ (pn)/2, nÎZ

1+tg²a = 1/cos²a , a¹p(2n+1)/2

1+ ctg²a =1/sin²a , a¹ pn

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y — cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y — sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y ¹ p/2 + pn

tg(x-y) = (tg x — tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x — y ¹ p/2 + pn

Формулы двойного аргумента.

sin 2a = 2sin a cos a

cos 2a = cos² a — sin² a = 2 cos² a — 1 =

= 1-2 sin²a

tg 2a = (2 tga)/ (1-tg²a)

1+ cos a = 2 cos² a/2

1-cosa = 2 sin² a/2

tga = (2 tg (a/2))/(1-tg²(a/2))

 Ф-лы половинного аргумента.

sin² a/2 = (1 — cos a)/2

cos²a/2 = (1 + cosa)/2

tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a

a¹ p + 2pn, n ÎZ

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x — sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x — cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

sin (x+y)

cos x cos y

sin (x — y)

cos x cos y

Формулы преобр. произв. в сумму  

sin x sin y = ?(cos (x-y) — cos (x+y))

cos x cos y = ?(cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = ?(sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотнош. между ф-ями

2 tg x/2

1+ tg² x/2

1-tg 2/x

1+ tg² x/2

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m| = 1

x = (-1)ⁿarcsin m + pk, kÎ Z

sin x =1               sin x = 0

x = p/2 + 2pk       x = pk

sin x = -1

x = -p/2 + 2 pk

cos x = m; |m| = 1

x = ± arccos m + 2pk

cos x = 1    cos x = 0

x = 2pk       x = p/2+pk

cos x = -1

x = p+ 2pk

tg x = m

x = arctg m + pk

ctg x = m

x = arcctg m +pk

sin x/2 = 2t/(1+t²); t — tg

cos x/2 = (1-t²)/(1+t²)

 Геометрия

Треугольники

a + b + g =180

Теорема синусов

a² = b²+c² — 2bc cos a

b² = a²+c² — 2ac cos b

c² = a² + b² — 2ab cos g

Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит

противопол. сторону напополам.

Биссектриса — угол.

Высота падает на пр. сторону

под прямым углом.

Формула Герона :

p=?(a+b+c)

S = Öp(p-a)(p-b)(p-c)

S = ?ab sin a

S_равн.=(a²Ö3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция.

S = (a+b)/2× h

Круг

S=  pR²

S_{сектора}=(pR²a)/360

Стереометрия

Параллепипед

V=S_осн×Р

Прямоугольный

V=abc

Пирамида

V =1/3S_осн.×H

S_полн.= S_бок.+ S_осн.

Усеченная :

 H .               _____

V =  3    (S₁+S₂+ÖS₁S₂)

S₁ и S₂ — площади осн.

S_полн.=S_бок.+S₁+S₂

Конус

V=1/3 pR²H

S_бок. =pRl

S_бок.= pR(R+1)

Усеченный

S_бок.= pl(R₁+R₂)

V=1/3pH(R₁²+R₁R₂+R₂²)

Призма

V=S_осн.×H

прямая: S_бок.=P_осн.×H

S_полн.=S_бок+2S_осн.

наклонная :

S_бок.=P_пс×a

V = S_пс×a, а -бок. ребро.

P_пс — периметр

S_пс — пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V=pR²H ; S_бок.= 2pRH

S_полн.=2pR(H+R)

S_бок.= 2pRH

Сфера и шар .

V = 4/3 pR³ — шар

S = 4pR³ — сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 pR³H

H — высота сегм.

Шаровой сегмент

V=pH²(R-H/3)

S=2pRH

Таблица значений функций